Dimensional Analysis

Dimension: 

Dimensional Analysis फिजिक्स की एक ऐसी अवधारणा (Concept) है जिसका उपयोग  Base Quantity और Derived Quantity को सम्बंधित करने के लिए किया जाता है. इन दोनों के बीच सम्बन्ध को बताने के लिए सबसे पहले हम बेस क्वांटिटी को कुछ विशेष Symbol से निरूपित करते हैं. ये सिम्बॉल हैं:

1. Length                              (L)
2. Mass                                 (M)
3. Time                                 (T)
4. Temperature                     (Θ or K)
5. Electric Current                (I or A)
6. Luminous Intensity          (cd)
7. Amount of Substance       (mol)

अब हम Derived Quantities को इन सिम्बॉल की मदद से व्यक्त करते हैं. अपने व्यंजक (expression) को हमलोग ब्रैकेट में लिखते हैं और इसको डायमेंशनल फार्मूला (Dimensional Formula) कहते हैं. इस डायमेंशनल फार्मूला में बेस क्वांटिटी के ऊपर जो Power आता है उसको ही हमलोग डायमेंशन (Dimension) कहते हैं.
Example:

Area का डायमेंशनल फार्मूला है: $$\left[ {{L}^{2}} \right]$$ अब हम कह सकते हैं कि Area का डायमेंशन Length में 2 है.

Laws of Dimensional Analysis :

Dimensional Formula के साथ काम करने के लिए हमें कुछ नियमों का पालन करना पड़ता है. ये नियम इस प्रकार से हैं:

1. ऐसी संख्याएं जिनमे कोई यूनिट जुड़ा हुआ नहीं हो उनको Pure Number कहते हैं. ये संख्याएं Dimensionless होती हैं. 
2. Dimensionless चीजों को हम गणितीय रूप से '1' से निरूपित करते हैं. 
3. हम उन्ही  दो चीजों को आपस में जोड़ (Add) या घटा (Subtract) कर सकते हैं जिनके डायमेंशनल फार्मूला एक समान हों. ऐसे Addition या Subtraction का परिणाम में भी हमें वही डायमेंशनल फार्मूला मिलेगा. जैसे, $$\begin{align} & \left[ L \right]+\left[ L \right]=\left[ L \right] \\ & and \\ & \left[ L \right]-\left[ L \right]=\left[ L \right] \\ \end{align}$$ इसे समानता का सिद्धांत (Principle of Homogeneity)भी  जाता है. 
4. गुणा (Multiplication) और भाग (Division) सामान्य नियमों के  जाता है. 
5. Trigonometric, Logrithmic और Exponential फार्मूला Dimensionless होते हैं. इन फार्मूला के Argument भी Dimensionless होते हैं. अर्थात $$\begin{align} & \left[ \sin \theta \right]=1\text{ and }\left[ \theta \right]=1 \\ & \left[ \log x \right]=1\text{ and }\left[ x \right]=1 \\ & \left[ {{e}^{x}} \right]=1\text{ and }\left[ x \right]=1 \\ \end{align}$$
6. $$\left[ \Delta x \right]=\left[ dx \right]=\left[ x \right]$$

Use of Dimension:

डायमेंशन और इसके नियमों को समझने के बाद अब हम इस कांसेप्ट के उपयोग की चर्चा करेंगे. इसके 4 मुख्य उपयोग हैं: 

1. Unit निकालना : किसी भी Derived Quantity का Unit निकालने के लिए हमें उस क्वांटिटी के डायमेंशनल फार्मूला की जरूरत होती है. यूनिट बनाने के लिए हम Base Unit पर Power देते हैं जितना कि डायमेंशनल फार्मूला में  सम्बंधित Base Quantity पर होता है. $$\begin{align} & \left[ Area \right]=\left[ {{L}^{2}} \right] \\ & \text{unit of Area = 1}{{\text{m}}^{2}} \\ \end{align}$$

2. Dimensional Formula निकालना : किसी Derived Quantity का डायमेंशनल फार्मूला निकलने के लिए सबसे पहले उस Quantity से सम्बंधित एक Physical Equation को चुनते हैं. उस equation को हम डायमेंशनल फार्मूला में लिखते हैं और डायमेंशन के नियमों का उपयोग करते हुए उसको solve करते हैं.
   Example 1 $$\begin{align} & \text{Area = Length x Width} \\ & \Rightarrow A=LB \\ & \Rightarrow \left[ A \right]=\left[ L \right]\times \left[ L \right] \\ & \Rightarrow \left[ A \right]=\left[ {{L}^{2}} \right] \\ \end{align}$$
   Example 2 $$\begin{align} & density=\frac{mass}{volume} \\ & or,\text{ }\rho =\frac{m}{V} \\ & or,\text{ }\left[ \rho \right]=\frac{\left[ M \right]}{\left[ {{L}^{3}} \right]} \\ & or,\text{ }\left[ \rho \right]=\left[ M{{L}^{-3}} \right] \\ \end{align}$$

3. Equation को Check करना : किसी भी Physical Equation को सही होने के लिए दो शर्त हैं. पहला कि इसको Numerically Correct होना चाहिए. और दूसरा कि इसको Dimensionally Correct होना चाहिये.
     यदि किसी equation  के LHS और RHS में लिखे क्वांटिटी का अलग अलग Measurement किया जाये और ये दोनों सामान हों तो हम कहेंगे कि इक्वेशन Numerically Correct है. यह एक ऐसा कार्य है जिसे प्रयोगशाला में ही किया जा सकता है.
     यदि किसी Equation के LHS और RHS का डायमेंशनल फार्मूला अलग अलग निकला जाये और वे सामान हों तथा Equation के Terms डायमेंशन से सम्बंधित नियमों के अनुसार हों तो हम कहेंगे कि इक्वेशन Dimensionally Correct है. यह जाँच (Check ) सैद्धांतिक (Theoretically) की जा सकती है.
     Example $$\begin{align} & \text{Check the equation: }distance(s)=\frac{speed(v)}{time(t)} \\ & \text{Dimension of LHS: }\left[ s \right]=\left[ L \right] \\ & \text{Dimension of RHS: }\frac{\left[ v \right]}{\left[ t \right]}=\frac{\left[ L{{T}^{-1}} \right]}{\left[ T \right]}=\left[ L{{T}^{-2}} \right] \\ & \text{Since formula of both sides are not same, the equation is dimensionally incorrect}\text{.} \\ \end{align}$$

4. Equation को Predict( अनुमान ) करना : मान लीजिये कोई Physical Quantity Q अन्य बहुत सारी Quantities A, B, C.........पर निर्भर करती हैं. तब हम इनके बीच निम्न सम्बन्ध का अंदाजा लगा सकते हैं: $$Q=k{{A}^{x}}{{B}^{y}}{{C}^{z}}.....$$
जहाँ  k एक Dimensionless Constant है और इसका मान Measurement से निकला जा सकता है.
एवं  x,y,z.....Unknown Powers हैं. इनका मान हम LHS और RHS के Dimension को बराबर करके निकल सकते हैं.
     Example: Rest mass energy(E) is found to depend on mass(m) of a particle  and speed(c) of light. Guess a suitable formula for energy. $$\begin{align} & \text{Let }E=k{{m}^{x}}{{c}^{y}}\text{ } \\ & \text{Then, }\left[ E \right]={{\left[ m \right]}^{x}}{{\left[ c \right]}^{y}} \\ & \text{or, }\left[ M{{L}^{2}}{{T}^{-2}} \right]={{\left[ M \right]}^{x}}{{\left[ L{{T}^{-1}} \right]}^{y}} \\ & \text{or, }\left[ M{{L}^{2}}{{T}^{-2}} \right]=\left[ {{M}^{x}}{{L}^{y}}{{T}^{-y}} \right] \\ & \text{equating dimensions of both sides we get } \\ & x=1,\text{ and }y=2 \\ & \text{Hence, required relation is: } \\ & \text{ }E=km{{c}^{2}} \\ \end{align}$$